Examen 2 : Préparation

Résolution de systèmes d'équations, vecteur du plan et droite du plan

1. Soit le système d'équations suivant :

   

   Résoudre ce système en utilisant la méthode de Cramer.
   Réponses

   
   

2. Soit le système d'équations suivant :

   

   Résoudre ce systeme en utilisant la méthode d'élimination Gaussienne.
   Réponses

   

   

   

   Aucune solution.

3. Pour un voyage, un autobus part à 9h00 et un autre à 10h00. Le premier voyage à 90km/h et le second à 110km/h. À quelle distance du départ, le second autobus doublera le premier ?

   Réponses

   

   

   

   (une fois la matrice échelonnée)

   

   L'autobus 2 effectue un dépassement 495 km après le départ.

4. Soit le système d'équations suivant :

   

   Résoudre ce système en utilisant la méthode d'élimination Gaussienne.
   Réponses

   

   

   

   

   Infinité de solution, posons .

   
   
   
   
   
   
   Réponse :

5. Calculer l'inverse de la matrice en utilisant la méthode de Gauss-Jordan.

   Réponses
   

6. Calculer le poids maximal en que la grue à cable représentée sur le dessin suivant peut tenir à d'angle avec la verticale. :
   

   
   Réponses
   Diagramme des forces :

   

   On obtient le système suivant :
   
   et ainsi et . Le poids maximal est de .

7. Soit les vecteurs , ,

   1. Calculer
   2. Calculer l'angle entre et .
   3. Calculer
   4. Calculer
   5. Calculer
   6. Exprimer comme une combinaison linéaire des vecteurs et .
   Réponses
   1. 
   2. 
   3. Ça n'existe pas, est un scalaire.
   4. 
   5. 
   6. On résout le système en et . On obtient :

8. Construire deux vecteurs unitaires perpendiculaire au vecteur .

   Réponses
   et

9. Soit la droite qui passe par les points et .

   1. Écrire une équation vectorielle pour la droite .
   2. Écrire une équation cartésienne pour la droite .
   3. Écrire une équation paramétrique pour la droite .
   4. Écrire une équation symétrique pour la droite .
   Réponses
   1. 
      
   2. 
      
   3. 
      
   4. 
      
10. Déterminer la position relative des droites suivantes :
    • 
    • 
    • 
    Réponses
    Schéma :
    

    On a : .

    Donc .

11. Calculer le point de la droite le plus près du point en utilisant une projection orthogonale sur une normale.

    Réponses
    Schéma :
    
    Nommons le pt de le plus près de et prenons .
    
    Et ainsi, on obtient

12. Calculer le point de la droite le plus près du point en utilisant une projection orthogonale sur un vecteur directeur.

    Réponses
    Schéma :
    
    Nommons le pt de le plus près de et prenons .
    Et ainsi, on obtient .