Examen 1 : préparation

Soit les matrices suivantes :

$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ -2 & 1 & -5\\ -3 & 5 & 1 \end{bmatrix}$

$B=\begin{bmatrix} 6 & 0 & 0\\ -2 & 3 & 0\\ -3 & 2 & 9 \end{bmatrix}$

$C=\begin{bmatrix} 5 \end{bmatrix}$

$D=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 5 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$

$E=\begin{bmatrix} 2 & x \\ x & 2 \end{bmatrix}\text{, si }x\neq 0$

Pour chacune des matrices suivantes, indiquer si elles sont :

	A	B	C	D	E
matrice ligne
matrice colonne
triangulaire supérieure
triangulaire inférieure
diagonale
scalaire
identité
échelonnée
échelonnée réduite
symétrique
antisymétrique
carrée
nulle
idempotente
régulière
singulière
inversible

Réponses

Soit les 5 matrices suivantes :

$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$ $B=\begin{bmatrix} 5 & 1 & -1 \\ -2 & 3 & 6 \end{bmatrix}$ $C=\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ -3 & -4 \end{bmatrix}$ $D=\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -1 & -5 \\ 8 & 3 \end{bmatrix}$
1. $2A+D=$
2. $AB=$
3. $BA+C=$
4. $BA+BD+I_2$
5. Trouver $G$ si $A+2G=D$
Réponses
Soit la matrice $A=\begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix}_{n\times n}$ où $a_{ij}$ est la balance (positive/négative) monétaire entre $i$ et $j$ deux personnes d'un groupe de $n$ amis. Par exemple $j$ doit $a_{ij}$ dollars à $i$ .
1. Que représente la somme des éléments de la i^ème ligne ?
2. Que représente la somme des éléments de la j^ème colonne ?
3. Est-ce que $A$ est antisymétrique. Expliquer votre réponse.
4. Que représente $A^2$
Réponses
1. les avoirs de i.
2. les dettes de j.
3. A est antisymétrique puisque i ne se doit pas d'argent à lui-même donc $a_{ii}=0$ . De plus, si $a_{ij}>0$ alors $j$ doit $a_{ij}$ à $i$ et alors $a_{ji}$ indique donc $-a_{ij}$ puique la balance de $j$ est négative envers $i$ .
4. Rien du tout.
.
Soit un groupe de personnes numérotées de à . Soit où .
1. Dans le contexte, expliquer pourquoi la matrice $A$ devrait être symétrique.
2. On dit souvent « Les amis de mes amis sont mes amis ». Compléter l’énoncé mathématique qui rend compte de ce dicton :
  Si $a_{ik}=a_{kj}=1$ , alors $= 1$ .
3. Si $G=AA^t$ , que représente les éléments $g_{ij}$ de cette matrice dans le contexte.
Réponses
1. Si i est ami avec j, alors j est ami avec i. L'amitié est à double sens. Donc, $a_{ij}=a_{ji}$
2. $a_{ij}=1$ . Notez que ce n'est qu'un dicton.
3. $g_{ij}$ représente le nombre d'ami commun entre i et j.
Construire la matrice $A=\begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix}_{3\times 3}$ où $a_{ij}=i^2-j^2$ . Qu'a de spécial $A ?$ Expliquer votre réponse.
Réponses
$A=\begin{bmatrix} 0 & -3 & -8 \\ 3 & 0 & -5 \\ 8 & 5 & 0 \end{bmatrix}$ qui est antisymétrique.
En effet :
$\begin{align*} a_{ij} &=(i^2-j^2)\\ &= -(-i^2+j^2)\\ &= -(j^2 -i^2)\\ &= -a_{ji} \end{align}$ .

Laquelle des matrices $A= \begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \end{bmatrix}$ et $B= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ est idempotente ?
Réponses
$A$ est idempotente. $B^2=\begin{bmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix}$
Démontrer que si une matrice $A$ est antisymétrique, alors $A^2$ est symétrique.
Réponses
$\begin{align*} A&=-A^t \Rightarrow A^2=\left(A^2\right)^t \\ \text{Preuve: }\\ \left(A^2\right)^t &= \left(AA\right)^t\\ &= A^tA^t (\text{on inverse les }A)\\ &= (-A)(-A) (\text{par hypoth\'ese})\\ &=(-1)(-1)(AA) \\ &= AA \\ &= A^2 \\ \blacksquare \end{align*}$
Faux ou faux.
1. Si A et B sont des matrices diagonales de même ordre, alors : $Tr(A)=Tr(B)\Rightarrow A=B$ .
2. Le déterminant d’une matrice antisymétrique est positif.
3. Le déterminant d’une matrice carrée ayant une ligne identique à une colonne, est nul.
Réponses
1. Faux (contre exemple) :
  Soit $A=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix}$ et $B=\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \\ \end{bmatrix}$ . Alors, $Tr(A)=Tr(B)=0$ et $A \neq B$ .
2. Faux (contre exemple) :
  $A=\begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}$ , $A$ est antisymétrique et $det A=0$ , qui n'est pas positif. (En général, si $A_{n\times n}$ est une matrice antisymétrique d'ordre impair plus grand que 1, alors $det A = 0$ ).
3. Faux (contre exemple) :
  Les matrices identités $(I_n)$ ont toutes une première ligne identique à leur première colonne et un déterminant de $1$ .
Calculer le déterminant de la matrice $A=\begin{bmatrix} -5 & 3 & 4 & 0 & -7 & 0 \\ -9 & -1 & -2 & 0 & 2 & 2 \\ -5 & 3 & 4 & -3 & 2 & 8 \\ -1 & 3 & 0 & 0 & -5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -5 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$
Réponses
On peut jouer avec les lignes et les colonnes $\begin{pmatrix} C_2\leftrightarrow C_6 \\ C_1\leftrightarrow C_4 \\ L_1\leftrightarrow L_3 \end{pmatrix}$ et obtenir une matrice triangulaire supérieure :

$det A = (-1)^3\begin{vmatrix} -3 & 8 & 4 & -5 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & -2 & -9 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 4 & -5 & -7 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 \\ \end{vmatrix}=-1\times 240=-240$
Démontrer que le déterminant d'une matrice antisymétrique d'ordre impair est nul.
Réponses
Si $A_{n\times n}, n$ impair, et $A=-A^t$ , alors $det A=0$ .
Preuve :
Soit $A_{n\times n}, n=2k+1,k\in \mathbb{N}$ et $A=-A^t$ . On a donc que :
$\begin{align*} A &= -A^t \\ det A &= det\left(-A^t\right) \\ det A &= (-1)^n det\left(A^t\right) \\ det A &= (-1)^{2k+1} det\left(A^t\right) \\ det A &= (-1)^{2k}(-1) det\left(A^t\right) \\ det A &= \left((-1)^{2}\right)^{k}(-1) det\left(A^t\right) \\ det A &= 1^k(-1) det\left(A^t\right) \\ det A &= - det\left(A^t\right) \\ det A &= - det A \\ det A + det A = 0 \\ 2det A = 0 \\ det A = 0 \\ \blacksquare \end{align*}$
Montrer que si A est une matrice symétrique d’ordre m et que B est une matrice quelconque de format $m\times n$ , alors $B^t AB$ est une matrice symétrique.
Réponses
$A_{m\times m}=A_{m\times m}^t \Rightarrow B^tAB=\left(B^tAB\right)^t$
Preuve:
Soit $A_{m\times m}=A^t \text{ et } B_{m\times n}\text{.}$ Alors :
$\begin{align*} \left(B^tAB\right)^t &= \left(B^t(AB)\right)^t \\ &= \left(AB\right)^t\left(B^t\right)^t \\ &= \left(B^tA^t\right) B\\ &= B^t AB \\ \blacksquare \end{align*}$
Démontrer que $det \left(A^{-1}\right) = \frac{1}{det A}$ .
Réponses
$det \left(A^{-1}\right) = \frac{1}{det A}$
Preuve :
Soit $A_{n\times n}$ une matrice inversible. Alors $det A\neq 0$ . On a :
$\begin{align*} A A^{-1} &= I \\ det (A A^{-1}) &= det I \\ det (A) \times det(A^{-1} &= 1 \\ det A^{-1} = \frac{1}{det A}\\ \blacksquare \end{align*}$
Soit la matrice $A=\begin{bmatrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ avec $det A = 2$ .
Calculer :
1. $det(3 A^2)=$
2. $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ 4+x & 3+y & 2+z \end{vmatrix}=$
3. $\begin{vmatrix} z & 2 & 1 \\ y & 2 & 2 \\ x & 2 & 3 \\ \end{vmatrix}$
Réponses
1. $det (3A^2)=27(det A^2)=27(det A)^2=108$
2. $\begin{align*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ 4+x & 3+y & 2+z \end{vmatrix}&= -\begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \\ 4+x & 3+y & 2+z \end{vmatrix} L_3=L_3-L_2-L_1\\ &=-\begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \\ 4+x-1-x & 3+y-1-y & 2-1-z \end{vmatrix}\\ &= -\begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}\\ &=- det A \\ &= -2 \end{align*}$
3. $\begin{align*} \begin{vmatrix} z & 2 & 1 \\ y & 2 & 2 \\ x & 2 & 3 \\ \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} z & y & x \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} \\ &=2\begin{vmatrix} z & y & x \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}\\ &=-2\begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} \\ &=-2 det A \\ &=-4 \end{align*}$
Calculer l'inverse de la matrice $A=\begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 4 & -3 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix}$ en utilisant la définition.
Réponses
$\begin{align*} A^{-1}&=\frac{1}{-7}\begin{bmatrix} \begin{vmatrix}-3& 0\\ -1 & 2\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}4& 0\\ 1 & 2\end{vmatrix}& \begin{vmatrix}4&-3\\ 1 & -1\end{vmatrix}\\ -\begin{vmatrix}-1& 3\\ -1 & 2\end{vmatrix}& \begin{vmatrix}2& 3\\ 1 & 2\end{vmatrix}& -\begin{vmatrix}2& -1\\ 1 & -1\end{vmatrix}\\ \begin{vmatrix}-1& 3\\ -3 & 0\end{vmatrix}& -\begin{vmatrix}2& 3\\ 4 & 0\end{vmatrix}& \begin{vmatrix}2& -1\\ 4 & -3\end{vmatrix} \end{bmatrix}^t\\ &=-\frac{1}{7}\begin{bmatrix} -6 & -8 & -1\\ -1 & 1 & 1\\ 9 & 12 & -2 \end{bmatrix}^t \\ &=\begin{bmatrix} \frac{6}{7} & \frac{1}{7} & -\frac{9}{7}\\ \frac{8}{7} & -\frac{1}{7} & -\frac{12}{7}\\ \frac{1}{7} & -\frac{1}{7} & \frac{2}{7} \end{bmatrix}\end{align}$
Résoudre le système d'équation linéaire suivant en utilisant la matrice inverse : $\begin{cases} 2x -y +3z &= 11\\ 4x-3y &= 1\\ x-y+2z &= 9 \end{cases}$
Réponses
$\frac{1}{7} \begin{bmatrix} 6 & 1 & -9\\ 8 & -1 & -12\\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}11 \\ 1 \\ 9\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}-2 \\ -3 \\ 4\end{bmatrix}$
Et $x=-2,y=-3,z=4.$