La diagonalisation

Pourquoi diagonaliser

Il est intéressant de construire une matrice diagonale $D$ à partir d'une matrice $A$ respectant l'égalité $D=P^{-1}AP$ , où $P$ est une matrice inversible. En effet, si on sait construire une telle matrice, il est alors possible de calculer plus rapidement $A^k,k\in \Re$ .

Soit $A,P,D,$ 3 matrices telles que $D=P^{-1}AP$ . On déduit que :

$\begin{align*} D &= P^{-1}AP \\ PD &= PP^{-1}AP \\ PD &= I_nAP \\ PDP^{-1} &= APP^{-1} \\ PDP^{-1} &= AI_n \\ PDP^{-1} &= A \end{align*}$

Ainsi :

$\begin{align*} A^k&=\left(PDP^{-1}\right)^k \\ &=\left(PDP^{-1}\right)\left(PDP^{-1}\right)...\left(PDP^{-1}\right)\left(PDP^{-1}\right)\\ &=PD\left(P^{-1}P\right)D\left(P^{-1}P\right)D...\left(P^{-1}P\right)DP^{-1} \\ &=PI_{n\times n}DI_{n\times n}...I_{n\times n}DP^{-1} \\ &=PD^kP^{-1} \\ &\blacksquare \end{align*}$

Calculer $D^k$ revient à élever à la $k$ les éléments de la diagonale de $D$ . Ensuite, il suffit d'effectuer les deux multiplications à gauche et à droite et c'est terminé.

Le principe de la diagonalisation

Diagonaliser une matrice $A_{n\times n}$ revient à trouver la matrice de passage $P_{n\times n$ telle que $A=PDP^{-1}$ , où $D= \begin{bmatrix}d_{ij}\end{bmatrix}_{n\times n}, d_{ij}=\left\{\begin{matrix}\lambda_j & \text{ si } i=j \\ 0 & \text{ si } i\neq j \end{matrix}\right.$ . On a :

$\begin{align*} PDP^{-1} &= A \\ PD &= AP\\ \end{align*}$

Analysons la matrice $PD$ . C'est en fait la matrice $P$ dans laquelle on a multiplié les éléments de la $j^{me}$ colonne par l'élément $\lambda_j$ . Nommons $P_j$ la matrice colonne qui présente les éléments de la $j^{me}$ colonne de $P$ . On obtient ainsi à résoudre le système :

$\begin{align*} \lambda_j P_j &= AP_j \\ 0_{n\times 1} &=AP_j- \lambda_j P_j \\ 0_{n\times 1} &=(A- \lambda_j I_{n\times n})P_j \\ \end{align*}$

Ce système compte au moins une solution pour $P_j$ , soit la solution trivial $\left(P_j=0_{n\times 1}\right)$ , qui ne nous intéresse pas puisque $P$ doit être inversible. Pour trouver une solution intéressante, il faut donc que le système ait d'autres solutions (une infinité en fait). On veut donc que $det \left(A-\lambda_j I_{n\times n}\right)=0$ .

Quelques définitions

Polynôme caractéristique : le polynôme caractéristique de la matrice $A$ est obtenu en calculant $det \left(A-\lambda_j I_{n\times n}\right)=0$
Valeurs propres de $A$ : les valeurs propres d'une matrice $A$ sont les racines du polynôme caractéristique de $A$ . Les valeurs propres sont les valeurs des $\lambda_j$ de la diagonale de la matrice $D$ .
Vecteur propre : Un vecteur $X$ qui vérifie l'équation $AX=\lambda X$ , c'est à dire que $(A-\lambda I_n)X=0_{n\times n}$ , est appelé un vecteur propre associé à la valeur propre $\lambda$ .
Matrice de passage : La matrice $P$ est composée, en colonne, des vecteurs propres trouvés pour les valeurs propres. Ces vecteurs propres doivent être linéairement indépendant.

Un exemple

Soit la matrice $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -2 \\ \end{bmatrix}$ .

Calculons le polynôme caractéristique :
Les valeurs propres sont donc $-3$ et $2$ .
Trouvons des vecteurs propres. Pour on a :
Pour on a :
Nous avons trouvé $P= \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$
On peut compter $P^{-1}= -\frac{1}{5} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -2 & -1 \end{bmatrix}$
Vérifions notre réponse, on devrait arriver à .
Calculons .
Vérifions avec les produits traditionnels :